msMITIC 2019

Mise en oeuvre Séquence 2 : Utiliser Géogébra pour résoudre un exercice pouvant être modélisé par des fonctions

12.04.2021

Yanick Derighetti avatar. Yanick Derighetti

Note: Bien que la préparation de la séquence ait été effectue en binôme, nous avons choisi de rédiger la partie de mise en oeuvre de façon individuelle, afin de tenir compte du différent contexte d'enseignement des deux membres du groupe. Cela explique l'utilisation de la première personne du singulier dans les chapitres concernants la mise en oeuvre.

1. Contexte
1.1.  Introduction
Cette séquence numérique intéresse principalement les enseignants de mathématiques, mais peut être utile aussi pour les sciences de la nature, notamment pour les activités impliquant la création de graphiques.
L’objectif de cette séquence est d’utiliser le logiciel Géogébra pour la résolution d’exercices pouvant être modélisés par des fonctions.
Ainsi, dans le cadre du chapitre « Fonctions et Diagrammes », cette activité sera mise en place avec des élèves de 11VG niveau 1 et de 10VP, mais il est tout à fait possible de proposer le même type d’activité avec des élèves de 9H ou de 11VG2 et 11VP, en adaptant le contenu des exercices.
L’idée est que chaque élève dispose d’un ordinateur, mais l’enseignant pourrait se limiter à montrer les passages effectués à la classe, sans que les élèves n’utilisent effectivement le logiciel. En effet, nous préférons que les élèves soient directement impliqués dans la tâche pour en favoriser les apprentissages.

1.2.  Utilité du numérique
Les avantages de l’utilisation de Géogébra sont nombreux. Premièrement, avec un logiciel la précision des graphiques sera supérieure aux graphiques sur papier, surtout si on considère des fonctions dont la représentation n’est pas une droite (par exemple une fonction quadratique). De plus, il est possible de se déplacer sur le graphique et observer l’évolution de la fonction pour des valeurs très grands ou très petits, ce qui ne serait pas possible de faire avec un graphique sur papier. 
En effet, l’équation liée à chaque graphique est toujours visible sur l’écran et elle est représentée dans une forme écrite identique à celle utilisée normalement par l’enseignant et les élèves. De cette façon on pourra se focaliser sur l’étude des fonctions et sur la logique sous-jacente.
De plus, on peut rapidement changer tout coefficients ou corriger des erreurs dans la création du graphique, sans avoir besoin de tout recommencer.
La séquence proposée se situe au niveau "augmentation" du modèle SAMR. En effet, la tâche effectuée avec le numérique ne change pas, mais Géogébra permet une amélioration fonctionnelle, surtout au niveau de la vitesse de réalisation, la précision et la lecture et interprétation des graphiques.

1.2.1.    Retour après expérience
Considérations générales :  J’ai été surpris par la réussite de cette séquence, même si c’était la première fois que j’essayais une activité avec des ordinateurs dans ma classe.
La chose la plus étonnante a été de voir l’intérêt des élèves pendant l’activité, surtout celles et ceux qu’habituellement ne participent presque pas ! On dirait que le simple fait d’utiliser un ordinateur pendant le cours de mathématiques a été suffisant pour changer l’attitude de la plupart des élèves (il s’agit d’élèves de 11VG niveau 1 dont le niveau en mathématiques est très faible).
Dernièrement, le choix d’utiliser le numérique dans la résolution de cet exercice s’est avéré un très bon choix et je pense que cela a aidé les élèves à s’approprier certaines connaissances du chapitre. 
Timing : Après la mise en œuvre j’ai eu la confirme que 1h30 (2 périodes) est un temps suffisant pour terminer l’exercice.

1.3.  Compétences enseignantes
Géogébra est un logiciel très intuitif et cela ne prend pas trop de temps pour en maitriser les fonctions de base. 
Il existe une version de Géogébra en ligne, donc il n’est pas nécessaire de le télécharger sur son ordinateur (version en ligne disponible au site : https://www.geogebra.org/classic).

Il est aussi necessaire de connaître les ressources numériques de votre environnement de travail (Compétence Sqily). En particulier, il faut s'assurer que votre établissement dispose d'assez d'ordinateurs pour tous les élèves. il faut savoir comment les réserver et si les élèves disposent d'un compte personnel avec lequel accéder.  De plus,  il est important de connaître la PRessMITIC (Personne Ressource MITIC) de votre établissement, qui pourra vous renseigner par rapport à l'utilisation du numérique de l'établissement et à les enjeux éventuelles.


1.3.1.     Marche à suivre
En annexe vous avez l’exercice utilisé pour cette activité. La démarche suivante décrit la résolution de cet exercice, mais peut s’appliquer pour n’importe quel exercice pouvant être modélise par des fonctions. :
a)    Ouvrir Géogébra (Figure 1)
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b)    En haut à gauche, en « Saisie », insérez l’expression des fonctions (p.ex. f(x)=3x+25).
c)     Avec un clic droit sur le graphique vous pouvez modifier le rapport entre les 2 axes. Ici, un rapport 1 :10 a été choisi pour favoriser l’interprétation du graphique (Figure 2).
Capture d’écran 2020-12-17 à 16.42.15.png 138.63 KB
d)    En haut à droite, sélectionnez le bouton avec le « cercle et triangle bleus » puis le bouton avec les «trois points verticales »  pour accéder à l’option « calcul formel » (Figure 3).
Capture d’écran 2020-12-17 à 16.42.22.png 82.78 KB

e)    Dans « calcul formel » vous pouvez calculer f(x) pour x=n : il suffit d’insérer p.ex. f(23) et presser «entrée».
f)    Il est aussi possible de résoudre des équations pour trouver le point d’intersection entre 2 droites : f(x) = g(x). Pour trouver la solution de l’équation il suffit d’écrire « solutions » et l’option « Solution (< Équation >) s’affichera automatiquement (Figure 4). Vous pouvez écrire manuellement l’équation ou cliquer directement sur une équation que vous avez déjà écrite dans « Calcul formel ».
Capture d’écran 2020-12-17 à 16.42.29.png 52.35 KB

g)   En sélectionnant les axes ou une droite vous avez la possibilité de les nommer ou d’en changer la couleur. Il suffit de cliquer en haut à droite sur le bouton avec le « cercle et triangle bleus » et d’aller dans les paramètres.

2.     Alignement pédagogique
2.1.  Objectifs
La résolution d’exercices pouvant être modélisés par des fonctions s’inscrit dans le Plan d’études Romand dans la compétence « MSN33 : Résoudre des problèmes numériques et algébriques en explorant les propriétés de quelques fonctions (linéaire affine, quadratique, …) » et dans la compétence « MSN35 : Modéliser des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques en mobilisant des représentations graphiques ». Dans ce cas, les 2 objectifs prioritaires sont de :
1)    Représenter une relation où interviennent deux grandeurs variables par une représentations graphique.
2)    Lire et interpréter des graphiques. 

De plus, à l'intérieur des compétences liées à la formation générale, le PER identifie la FG31 et établit l'attente fondamentale suivante: "l'élève produit un document cohérent en recourant aux appareils informatiques adaptés à la tâche projetée". 
 
2.2.  Style pédagogique
Dans un premier temps, le rôle de l’enseignant est de faire découvrir Géogébra aux élèves pour qu’ils se familiarisent avec son interface et apprennent à maîtriser ses fonctions de base. 
Ensuite, les élèves pourront travailleur individuellement.
Il est possible de sauvegarder le travail pour le reprendre dans un deuxième temps et on peut aussi imprimer les graphiques que l’on a produits.  

La posture de l'enseignant sera:
a) directive au début: l'enseignant montre les fonctionnalités de Géogébra et résout les 2-3 premières questions avec les élèves. Il projette son écran au beamer et les élèves suivent les étapes sur leur ordinateur. 
b) en retrait, ensuite: les élèves doivent poursuivre la résolution individuellement ou en groupe. 

2.2.1.    Retour après expérience
Pendant la mise en œuvre, il s’est avéré nécessaire de résoudre les 3 premières questions avec les élèves et, par conséquent, l'écriture de l'expression fonctionnelle des 3 fonctions à été réalisée à l'aide du maître. Ce choix est en accord avec l'objectif de la l'activité. En effet, l'écriture de l'expression algébrique d'une fonction à partir d'une situation donnée a été travaillé dans un second temps. 
Ensuite, ils ont continué l’exercice individuellement et le maître était à disposition pour répondre aux questions.
Malgré le niveau assez faible des élèves, tout le monde était engagé dans la tâche et tous les élèves ont réussi à avancer à leur propre rythme. Les questions des élèves étaient assez ponctuelles et cela a facilité le guidage du maître. 
Au final, le fait de commencer la résolution avec les élèves leur a permis de « rentrer dans la tâche » et d’être à l’aise avec les fonctionnalités de base de Géogébra. 

2.3.  Évaluation
L’évaluation d’un exercice réalisé avec Géogébra ne se focalise bien évidemment pas sur la précision dans la rédaction du graphique, ni sur la justesse des calculs effectués (vu qu’ils sont effectués par le logiciel), mais plutôt sur la démarche de résolution en elle-même. D’ailleurs le but de ce type d’exercice est de se familiariser avec le concept de fonction et de comprendre comment celle-ci peut être utilisée pour modéliser des situations de vie réelle. 
En substance, il ne s’agit pas d’évaluer les calculs effectués mais plutôt le choix des calculs permettant d’arriver au bon résultat (la démarche d’analyse).

A la fin de la leçon, les élèves doivent présenter une capture d'écran de l'interface de Géogébra avec les calculs et le graphique produits., ainsi que la feuille avec les réponses aux questions.
L'évaluation se base sur les productions des élèves et aura la forme d’une  évaluation formative: l'enseignant corrige les travaux pour se rendre compte du niveau des connaissances acquises par les élèves et leur donne des feedbacks formatifs.
Pendant la tâche, l'enseignant observe le travail des élèves et reste à disposition pour répondre aux questions.

2.3.1.    Evaluation des acquis et régulation
Suite à la correction des travaux des élèves, je me suis rendu compte que la plupart d’entre eux ont obtenu des bons résultats. 
Comme indiqué précédemment, l’évaluation ne se base pas sur les calculs (par exemple pour trouver l’image d’une valeur à partir de l’expression fonctionnelle) mais plutôt sur le choix des valeurs choisies.  
De plus, la moyenne du Travail Significatif (TS) sur le chapitre a confirmé que la plupart des élèves ont acquis les connaissances de base (seulement 2 élèves sur 15 étaient au-dessous de la moyenne).
La correction des productions des élèves ainsi que le type de questions posées pendant l’activité ont permis de se rendre compte de certaines lacunes. Le début du cours suivant a été consacré à la discussion des erreurs des élèves et à la clarification de ceux-ci.
Finalement, cette activité a permis aux élèves de renforcer leurs connaissances sur les fonctions, en particulier en relation avec la lecture et l’interprétation de graphiques. De plus, le fait d’avoir proposé un exercice assez concret (différents abonnements pour une piscine), a permis une meilleure maîtrise du sens de l’expression algébrique d’une fonction (a(x) = 3x + 25 à « 3 fois le nombre d’entrés plus 25.- qu’on a dépensé au début »). 
 
3.     Gestion de la classe
3.1.  Education aux médias
Géogébra est un logiciel libre et les activités proposées n’impliquent aucun contenu sur lequel s’applique le droit d’auteur (il est important d'informer les élèves en relation aux contraintes du droit d'auteur)
Dans la classe en question, il n’y a pas d’élèves dont les caractéristiques psycho-physiques pourraient empêcher le bon déroulement de l’activité. 
Chaque élève travaille avec son ordinateur, cela permet à tout le monde d’entrer dans l’activité et d’avancer à son rythme. 

3.1.1.    Retour après expérience
Bien que dans cette classe il n’y avait aucun élève à besoin spécifiques, il y a quand-même 2-3 élèves qui ne participent jamais et qui ont une attitude assez négative envers les mathématiques. Pendant cette activité j’ai constaté une participation plus active de ces élèves et surtout un plus grand engagement dans la tâche. En effet, les élèves posaient beaucoup de questions et étaient visiblement intéressés à l'activité. 

3.2.  Planification
Cette activité s’insère dans le chapitre « Fonctions et diagrammes », lequel est traité en 9H, 10H et 11H. Elle peut donc être proposée à tous les niveaux, en adaptant le contenu des problèmes proposés.
Étant donné qu’il s’agit d’une activité qui nécessite des ordinateurs (lesquels ne se trouvent pas forcément dans la salle de classe) et qu’il faut du temps pour que les élèves apprennent à utiliser le logiciel, il faut prévoir au moins 2 périodes.
Si votre établissement dispose d’un nombre suffisant d’ordinateurs, il suffit de les réserver à l’avance.
De plus, il est conseillé d’insérer cette activité vers la fin du chapitre sur les fonctions, car les élèves doivent être à l’aise avec la notion de fonction et avec la création d’un graphique. 

Planification de la leçon (2 périodes): 
  • Distribution et démarrage des ordinateurs.  Un ordinateur par élève. (5 minutes). 
  • Présentation des fonctionnalités de base de Géogébra (5 minutes).
  • Distribution de la fiche avec les questions et explication de la consigne (10 minutes).
  • Résolution des 2-3 premières questions avec les élèves et s'assurer que tous les élèves aient compris (15 minutes).
  • Les élèves poursuivent l'exercices individuellement (40 minutes) et le maître passe dans les rangs pour répondre aux questions.
  • Les élèves font une capture d'écran de leur travail et la transfèrent dans la clé USB du maître (10 minutes.).
  • Etendre et ranger les ordinateurs (5 minutes).
 
3.2.1.
    Retour après expérience
Bien que 2 périodes aient été suffisants pour terminer l’activité, l’idéal serait de la mettre en œuvre sur 3 périodes. Vu qu’au niveau logistique et organisationnel cela pourrait compliquer les choses, il est envisageable d’enlever une partie de l’exercice (par exemple les questions 3b, 4 ou 5).
La mise en œuvre a aussi confirmé l’importance d’insérer cette séquence à la fin du chapitre sur les fonctions parce que, pour résoudre les exercices, les élèves doivent déjà être à l’aise avec les concepts. 
N.B. : Avant de distribuer les ordinateurs aux élèves, ils ont lu l’énoncé et ils ont répondu à la question 1, laquelle n’implique pas forcément l’utilisation du numérique. Cela a permis aux élèves de « rentrer dans la tâche » et de se faire une idée de ce qu’ils auraient fait avec Géogébra.

3.3.  Déroulement
·      Avant de dire aux élèves qu’ils auraient travaillé avec un ordinateur, le maitre a distribué la fiche avec l’énoncé et les élèves ont répondu à la question 1. Ce choix découle de la volonté de favoriser l'appropriation de la tâche par les élèves et tient compte des caractéristiques de la classe.
·      Le maître a distribué un ordinateur à chaque élève et leur a dit de l’allumer et d’accéder au site de Géogébra (https://www.geogebra.org/classic)
·      Le maitre a projeté sur le beamer l’écran de son ordinateur.  
·      Le maître a inséré les expressions fonctionnelles des 3 fonctions dans le logiciel afin d’obtenir le graphique avec les 3 droites. 
·      Pour la question 2, avant d’insérer les valeurs dans Géogébra, le maitre a demandé aux élèves comment il est possible de se faire une idée de la réponse en observant le graphique (il faut identifier l’image de « 5 » pour les 3 fonctions).
·      Ensuite, le maître a inséré les calculs dans « calcul formel » et les élèves ont fait la même chose sur leur ordinateur.
·      Pour la question 3, les élèves se sont encore basés sur le graphique pour se faire une idée du résultat. Ensuite, ils ont utilisé Géogébra pour obtenir la valeur exacte.
·      Les élèves ont répondu individuellement aux questions 4 à 8 et ont posé des questions.
 
3.3.1.    Comportement des élèves
Certaines élèves ont rapidement compris le fonctionnement de Géogébra et ont avancé individuellement avec les exercices, même pendant la partie de résolution commune.
Pour d’autres élèves, par contre, il a fallu un suivi constant pendant toute l’activité (il s’agit des élèves qui ont moins de familiarité avec le numérique et/ou qui n’ont pas accès à un ordinateur à la maison). J’ai décidé de permettre à ces élèves de travailler en binôme, afin qu’ils puissent s’entraider (cette astuce a été très utile).  
 
3.3.2.    Difficultés des élèves et possibles facteurs de réussite/échec
1)    Une des difficultés des élèves a été de bien comprendre ce que les questions leur demandaient. Par exemple, les élèves doivent comprendre que l’expression « la pire des options » implique le fait que l’option en question nous fait dépenser plus d’argent par rapport aux autres. De même, si une option est « la meilleure des options » c’est parce qu’elle nous permet de dépenser moins d’argent par rapport aux autres.  
2)    Une autre difficulté a été de comprendre le sens des graphiques. Par exemple, si pour la même valeur du « nombre d’entrés » la valeur de l’image de la fonction s(x) était plus petite que celle de la fonction a(x), alors l’option a(x) est meilleure par rapport à s(x) (« la droite au-dessous des autres est celle qui représente la meilleure option ». 
 
4.    Annexes
Exercice proposé aux élèves (11VG niveau 1)
 
Pour pouvoir nager dans la piscine olympique, il y a 3 possibilités :
1)    Acheter un abonnement à 25 francs et payer ensuite l’entrée 3 francs (option A)
2)    Acheter une carte multi-entrées à 400 francs, valable pour 100 entrées (option C)
3)    Payer 6 francs à chaque entrée (Option S).
 
Albert choisit l’option A, Caroline choisit l’option C et Sylvie la S.
 
Question 1 
Détermine l’expression fonctionnelle pour chaque situation.
 
Question 2
a)    Après 5 entrées, qui aura dépensé plus d’argent ? Et combien ? 
b)    Et qui aura dépensé moins d’argent ?
 
Question 3 
a)    Après 15 entrées, la situation a-t-elle changé ?
b)    Et après 60 entrées ?
 
Question 4
A partir de combien d’entrées le fait d’avoir un abonnement est la meilleure des options ?
 
Question 5
A partir de combien d’entrées le choix de Sylvie de ne pas acheter un abonnement devient la pire des options ?
 
Question 6
Albert et Caroline s’entraînent 2 fois par semaine. Après 11 semaines, qui aura dépensé le plus ? Et combien ?
 
Question 7
Sylvie s’entraine 3 fois par semaine. Combien aura-t-elle dépensé après une année ?
 
Question 8
Sachant que j’ai un abonnement et que j’ai dépensé au total 160 francs, combien de fois je suis allé à la piscine ?