msMITIC 2019

SEQ : GeoGebra pour revisiter et approfondir les connaissances autour des triangles et de leurs lignes remarquables.

13.06.2021

Christine Sebe avatar. Christine Sebe

Linus Jaquenoud avatar. Linus Jaquenoud

1. Contexte 

1.1. Introduction

Tout d'abord voici le lien pour accéder au téléchargement des exercices GeoGebra discutés dans cette séquence:

https://drive.google.com/drive/folders/14UQbpAn6YP3aXjs_SIEtHW_9gF_XX5Zl?usp=sharing

Nous sommes deux enseignants de mathématiques effectuant la passerelle du secondaire II au secondaire I.  Découvrant la communauté sqily en début d'année complémentaire, nous avons tout deux été intéressés par une même compétence, à savoir Labomep. Nous avions donc initialement annoncé indépendamment une séquence sur cette plateforme dédiée à l'enseignement des mathématiques.

Suite à un séminaire en didactique des mathématiques où nous avons "joué" avec GeoGebra comme des élèves l'auraient fait pour s'approprier le logiciel (construction de points, de segments, d'angles, de cercles et de carrés, avec restriction d'outils...), nous sommes devenus tout deux enthousiastes à l'idée découvrir plus en détail le logiciel du côté enseignant afin d'apprendre à concevoir des activités sur GeoGebra afin que nos élèvent puissent s'amuser tout en consolidant leur connaissances mathématiques. 

Après discussion, notre intérêt s'est porté sur l'utilisation de GeoGebra dans le cadre géométrique, puisque comme le souligne Roux (2009) "les logiciels de géométrie permettent la construction de toutes figures courantes de géométrie plane, remplaçant compas, règle, rapporteur, équerre [...] Mais leur intérêt essentiel réside dans l'aspect dynamique : en faisant varier l’emplacement des points libres et/ou la valeur des paramètres numériques, ils distinguent clairement les propriétés (alignements, isométries,...) qui se déduisent des hypothèses de celles qui ne se réalisent que dans des cas particuliers".  Ainsi, cherchant à exploiter au maximum l'aspect dynamique du logiciel,  notre projet s'est construit autour de deux objectifs.  Dans un premier temps l'objectif est d'utiliser le cadre géométrique et les connaissances mathématiques des élèves pour leur faire découvrir, par le biais de petits exercices d'introduction, l'interface du logiciel et plusieurs de ses outils/instruments et fonctionnalités de base. Dans un deuxième temps, une fois que l'élève s'est familiarisé avec le logiciel, l'objectif est d'utiliser GeoGebra pour revisiter et approfondir leur connaissances mathématiques ainsi qu'établir de nouveaux liens entre des notions déjà connues. 

Cette séquence bien que conçue pour une classe de 9e VG, pourrait tout autant être mise en oeuvre pour des classes de 10e ou 11e, puisqu'elle exploite précisément des liens et connexions entre concepts qui sont généralement laissés de côté, non pas pour leur complexité en elles-mêmes, mais la difficulté à les mettre évidence avec la staticité du matériel conventionnel de géométrie.

Cette séquence se déroulera dans la salle d'informatique de l'établissement pour que chaque élèves dispose de son propre ordinateur et que l'enseignant puisse profiter de l'appui visuel du beamer pour donner des explications collectives et ainsi montrer ce qu'il fait à toute la classe en même temps.

Dans un premier temps, les élèves reçoivent une feuille de route composée de deux exercices d'introduction visant à introduire et faire découvrir le logiciel GeoGebra aux élèves (interface, barre d'outils, outils à disposition, utilisation de ces outils, création d'objets, suppression d'objet, sauvegarde de fichier, etc)
Feuille de route

Une fois que les élèves se sont appropriés les manipulations de base du logiciel, ou du moins, qu'ils ont compris qu'il est possible découvrir intuitivement comment utiliser le programme en "jouant et bidouillant". Ils pourront passer à la deuxième phase, dans laquelle ils disposent de plusieurs exercices interactifs et dynamiques les invitant à revisiter des concepts, objets, propriétés et résultats géométriques : somme des angles d'un triangle, lignes remarquables d'un triangle (médiatrices, bissectrices, hauteurs) et leurs points d'intersections respectifs (centre du cercles circonscrit/inscrit et orthocentre). L'idée centrale de ces exercices réside dans la découverte de nouvelles relations mathématiques et de faire prendre conscience à l'élève de l'utilité et de la puissance de la dimension dynamique du logiciel (et plus généralement du numérique). Prenons un exemple pour plus de clarté. Chercher à répondre la question: "sous quelles conditions le centre du cercle inscrit se trouve-t-il à l'intérieur du triangle?" impliquerait (dans un cours conventionnel de géométrie) de dessiner une multitudes de triangles différents et de construire le centre du cercle circonscrit pour chacun d'entre eux. Cela serait bien évidemment long, fastidieux et probablement même pas très concluant. C'est face à ce genre de question que se révèle l'importance pédagogique de la dimension dynamique de GeoGebra. En effet, une fois le centre du cercle circonscrit d'un triangle construit, il suffit de déplacer l'un des sommets du triangle pour en obtenir un autre. Les médiatrices qui dépendent des positions relatives des sommets du triangle sont-elles aussi simultanément modifiées en concordance. Ainsi le déplacement du centre du cercle circonscrit et sa dépendance à la forme du triangle sont mis en évidence de manière dynamique et immédiate. 

Ces exercices sont conçu pour inviter l'élève à jouer en modifiant la position de certain objet, d'en observer les répercussion sur un objet particulier, d'émettre une hypothèse quant à la manière don cet objet particulier à été construit à partir des autre objets, de vérifier cette hypothèse en réalisant la construction imaginée et de finalement vérifier sa réponse/construction avec une solution disponible en un clic. Il convient de préciser que la conception des exercices à été fait de telle manière, à ce qu'en principe, il soit possible de les effectuer de manière complètement autonome. Cela présente l'avantage de permettre à chaque élèves de progresser selon son propre rythme et besoins. Un guidage interactif et progressif pourra aussi être mis en place, grâce au beamer, pour les élèves présentant des difficultés à s'approprier le logiciel ou l'esprit de découverte en autonomie.  

A continuation, nous présentons des captures d'écran des différents exercices que nous avons créés ex-nihilo afin de permettre de revisiter, d'approfondir et de mettre en relation des connaissances mathématiques liées aux triangles et de mettre en exergue l'utilité du numérique pour l'apprentissage:

--> concernant la somme des angles du triangle
Fig.1 : L'exercice "SumAngleTriangle" invite l'élève comprendre, par étape et de façon guidée, pourquoi la somme des angle d'un triangle est constante de lui fournir les éléments clé d'une preuve de cette propriété.

--> concernant les hauteurs du triangle et l'orthocentre 
Fig.2 : L 'exercice "BoîteNoireH" permet à l'élève de déplacer les point A,B et C et d'observer comment cela modifie la position du point rouge dénoté H. L 'élève doit deviner comment le point H a été construit et le vérifier lui même avec sa propre construction. La position du point H, qui correspond à l'orthocentre du triangle ABC peut être à l'intérieur ou à l'extérieur de celui-ci.

--> concernant les médiatrices du triangle et le cercle circonscrit
Fig.3 : Fichier "BoîteNoireM"

--> concernant les bissectrices du triangle et le cercle inscrit   
Fig.4 : L'exercice "BoîteNoireB" permet de déplacer les point A, B et C et d'en observer les effets sur le point M. L'élève essaie de comprendre comment le point M a été construit et vérifie son hypothèse par une construction. La deuxième question invite l'élève à identifier les propriétés de ce point M en terme de lieu géométrique.


1.2. Utilité du numérique 

Les intérêts de l'utilisation de GeoGebra par rapport à un enseignement sans MITIC sont multiples : 

  • Comme précédemment indiqué, le point fort de tout logiciel de géométrie est le dynamisme puisqu'il permet à l'élève d'expérimenter de visuellement les propriétés des objets géométriques en jeu en variant à l'infini les configurations possibles des triangles ABC. 

  • L'obstacle que constituent les lourds protocoles de constructions des triangles et des droites remarquables, constructions dans lesquelles les erreurs des élèves sont fréquentes, est aboli afin de permettre de "faire des maths sereinement, en fournissant sans grand effort un support visuel à la pensée et au raisonnement" (Roux, 2009, p.197).

  • Qui plus est, nous avons fait le choix de limiter la boite à outils disponible pour chaque exercice afin de concentrer l'attention de l'élève sur les propriétés mathématiques déjà connues puisque le questionnement de l'élève devient en quelque sorte "j'ai des outils à disposition ainsi que connaissances, comment puis-je les utiliser pour montrer ce qui est demandé ?".

  • Le logiciel GeoGebra ne nécessite pas l'apprentissage d'une syntaxe puisque le vocabulaire et les notations sont très proches de celles utilisées en cours de mathématiques. Dans une certaine mesure, cela permet également de justifier auprès des élèves la rigueur propre à l'enseignement des mathématiques puisque cette dernière est partagée par toute la communauté des mathématiciens. 

  • Nous avons également fait le choix de créer des exercices où l'élève avance à son rythme (les corrigés sont intégrés à l'exercice et sont interactifs puisqu'il suffit de cocher la case "réponse" ou "vérification..."), mais également des exercices qui permettent d'avancer en fonction de ses difficultés (des cases "indices" sont également intégrées à l'exercice). 

  • En sus, l’utilisation du numérique pour la correction de ces exercices de géométrie permet une correction adaptée à la configuration du triangle tel que l'élève l'a choisi puisque peu importe le moment où l'élève clique sur la case "vérification", les corrections présentent les constructions des droites remarquables pour le triangle en question.
 
Selon la matrice d'intégration des technologies (SAMR), notre projet se situe aux niveau A, M et R : 

  • il s'agit d'une Amélioration (=la technologie agit comme substitution directe d'outil avec amélioration fonctionnelle) puisque le fichier GeoGebra mis à disposition des élèves remplace de nombreuses feuilles de papier qui auraient présenté les points / triangles dans différentes configurations afin de présenter les concepts sous-jacents.  Toutefois, nous n'aurions pu multiplier les configurations des triangles à l'infini comme c'est le cas ici.

  • il s'agit d'une Modification (=la technologie permet une reconfiguration significative de la tâche) puisque l'utilisation du logiciel GeoGebra centre l'activité mathématique sur la conceptualisation et la réflexion mathématique. Il s'agit bien plutôt de faire des mathématiques que des constructions géométriques et il est difficile d'y parvenir sans surcharger cognitivement l'élève avec les constructions géométriques ce qui mène bien souvent à le perdre.

  • il s'agit d'une Redéfinition (=la technologie permet la création de nouvelles tâches auparavant inconcevables) puisque l'utilisation du logiciel GeoGebra permet d'économiser les constructions géométriques à la règle et au compas déjà travaillées par l'élève ; l'élève allégé de ce labeur va au delà. Il manipule les points, il réfléchit sur les possibles, il émet des hypothèses, il les vérifie avec les outils à disposition, et il s'auto-corrige. Par exemple, la tâche du fichier 2, "Dans quelle zone le point C peut-il se déplacer sans que le point H sorte du triangle ΔABC ?", aurait été impossible à réaliser sans l'aide du logiciel de géométrie dynamique.


Retour après expérience :

[Linus Jaquenoud]
Lors de la mise en oeuvre l'utilité du numérique a clairement été reconnue, pas uniquement par l'enseignant mais aussi par les élèves, et ce sur différents plans. 

Premièrement, les élèves ont beaucoup apprécié la facilité avec laquelle ils ont pu réaliser des constructions géométriques sans l'encombrement et les difficultés (motricité fine) liées à la manipulation des instruments conventionnels de géométrie (règle, équerre et compas).

Deuxièmement, GeoGebra propose des fonctionnalités "raccourci" rendant les constructions moins rébarbatives et longues à effectuer. Par exemple, pour bissecter un angle à l'aide du com il faut tracer un premier arc de cercle pour définir deux point sur les côtés de l'angle qui sont équidistants au sommet de l'angle, puis on utilise ces deux points comme centres de deux nouveaux cercles dont l'intersection définit un nouveau point qui une fois relié au sommet de l'angle donne la bissectrice souhaitée. GeoGebra propose directement une fonctionnalité bissectrice permettant immédiatement d'obtenir la bissectrice d'un angle. La rapidité et facilité des constructions numériques a été rendue évident par plusieurs commentaires du style: "mais c'est super facile comme ça, pourquoi est-ce qu'on s'embête avec les compas en classe?" Cependant il convient aussi de remarquer que ces raccourcis pourraient avoir un effet négatifs. En effet, les fonctionnalité "raccourcis" comme bissectrice, parallèle, perpendiculaire, polygone régulier, etc pourraient, aux yeux des élèves, rendre comme inutiles l'acquisition des connaissances et procédures nécessaire à la construction (conventionel) de ces objets mathématiques. En somme, le numérique est certes utile dans la mesure où il offre un gain de temps mais il ne doit supplanter la compréhension et les compétences intervenant dans les constructions géométriques. En d'autre terme, le numérique doit travailler pour nous mais pas "penser" à notre place.

Troisièmement, les élèves ont très rapidement perçu l'efficacité et l'utilité de la dimension dynamique du numérique. En effet, une élève m'a demandé de l'aide concernant la réalisation d'une construction géométrique sur le logiciel. Je lui ai demandé comment elle procéderait si elle devait le faire sur papier et elle a tout de suite suggéré que cela serait extrêmement long car il faudrait faire beaucoup de dessins. Au terme de notre échange l'élève a verbaliser sa compréhension du fait que GeoGebra permettait en réalité d'obtenir toutes les constructions (cas de figures possibles) à partir d'une seule construction. À l'ère du numérique l'expression "d'une pierre deux coups" devient "d'une pierre mille coups".

Concernant des régulations possibles, il me semble important lors de futurs cours d'introduction à GeoGebra, de d'abord demander aux élèves de réaliser des constructions complètes avec toutes les étapes exactement comme sur papier. Cela peut facilement se faire avec la restriction de la boîte d'outils en ne laissant que les fonctionnalités de droite et cercle (équivalant à la règle et au compas). Idéalement il faudrait révéler l'existence des fonctionnalités "raccourcis" seulement une fois que les élèves ont pu réinvestir leurs connaissances et les procédures liées à ces constructions.

[Christine Sebe]

En ouverture de cours, j'ai annoncé aux élèves que nous allions faire un peu de "géométrie dynamique" et que nous allions voir dans quelques minutes ce que cela voulait dire. Dès la phase d'introduction au logiciel GeoGebra, des élèves se sont exclamés "c'est trop cool" en constatant que la construction de la médiatrice était si rapide et que cette dernière était continuellement réévaluée lorsque nous déplacions une des extrémités du segment ; j'avais choisi ce cas tout simple pour montrer la puissance de la géométrie dynamique de ce logiciel versus la construction à la règle et au compas qui demande de tracer des arc de cercle à partir des extrémités et de joindre les intersections.

Qui plus est, la semaine précédant ma mise en oeuvre, j'avais assisté Linus dans sa mise en oeuvre. J'avais été fortement étonnée du peu de maîtrise de l'informatique de ces enfants dit "digital natives". Par conséquent, lors de la première partie de notre séquence, c'est-à-dire dans la partie de prise en main du logiciel, j'ai fait le choix de guider les élèves dans l'appropriation des fonctionnalités en faisant de courtes démonstrations au tableau qu'ils devaient répliquer. J'en ai profité pour montrer des fonctionnalités permettant l'autonomie telles que la barre d'outil, le choix de l'objet moyennant la liste déroulante, l’apparition d'un encadrement en bleu de l'outil sélectionné, la possibilité d'utiliser le popup d'aide en passant sur l'outil pour savoir comment construire notre bissectrice,  la touche "retour" etc... car voir et comprendre ces petites subtilités du logiciel permet non seulement de réaliser les exercices suivants plus facilement, mais ils sont similaires à beaucoup d'autres applications qu'ils rencontreront dans leur vie.
Fig. 5- Liste déroulante des outils
Fig.6 - Popup d'aide en se positionnant sur l'outil sélectionné en bleu
Fig.7 - Bouton retour en arrière

etc, etc ....

Je ne regrette pas cette petite digression, elle a été fort utile pour les exercices qui ont suivi car je n'ai pas eu de demandes pour comment faire déjà une bissectrice ou autres constructions... et pour vous faire sourire également, voilà ce que j'ai pu voir en passant dans les rangs lors de cette phase de prise en main :
Fig.8 - Construction de la bissectrice.... et ''I love GeoGebra'' :-)))) ... pas sûr que ce soit GeoGebra, mais elle a découvert la fonctionnalité ''Polygone'' ;-)

Autrement, plus sérieusement, un élève m'avait dessiné un triangle, les trois bissectrices, et, le cercle inscrit... avant même de commencer les exercices plus spécifiques sur les droites remarquables du triangle.
Fig.9 - Construction du cercle inscrit de Simon (initiative personnelle)

Concernant la deuxième partie de la séquence destinée à revisiter les droites remarquables du triangle, toujours sous l'influence de la précédente mise en oeuvre, j'ai insisté à plusieurs reprises sur la manière de travailler puisqu'il faut émettre une hypothèse, la tester en réalisant la construction et seulement après consulter le corrigé. Je reste un peu sceptique sur le respect de cette consigne. Malheureusement, il n'y a pas de possibilité pour contraindre l'élève à d'abord construire sans supprimer le dynamisme de l'exercice puisque le corrigé aussi s'adapte au triangle que l'on considère


1.3. Compétences enseignantes 

"L'introduction d'un nouvel outil technologique dans la classe n'est pas une affaire simple surtout pour les enseignants qui n'ont pas d'expérience suffisante dans la manipulation de la technologie [...] Le processus d'appropriation et d'expérimentation d'un outil et sa mobilisation au service de l'activité mathématique demande plus de temps". Tels étaient les propos tenu par Riouch (2015, p.599) citant Aldon et al.

Effectivement, suite au séminaire qui nous donna l'envie d'utiliser GeoGebra pour cette séquence, il nous fallut changer de rôle : nous avions été les élèves à la découverte de l'outil, nous devions devenir les concepteurs d'une activité dynamique pour nos élèves. 

Malheureusement, aucune des 57 compétences Sqily ne correspondait à notre besoin. Nous partîmes donc à la recherche d'articles sur internet qui pourrait nous y aidé, d'où la bibliographie finale et les citations présentes dans cet article issus de cette phase de recherche initiale.

Mais, fort heureusement, suite à ce premier séminaire qui nous a enthousiasmé, un second séminaire pratique a été conduit par Jean-Philippe Javet le 19 avril. Un dossier d'exercice de base nous permettant de rentrer progressivement dans la logique du logiciel nous a été distribué et des groupes ont été formés afin que nous puissions nous entraider.  De la sorte, nous avons fait connaissance avec les différentes possibilités du logiciel que nous ne connaissions pas, si ce n'est de nom ou comme utilisateur sur le net d'animations déjà toutes bien ficelées. 

Outre la confrontation avec GeoGebra, cette séquence nous a également permis de nous informer dans nos établissements respectifs des modalités d'utilisation des salles d'informatiques ou des chariots, de la gestion des comptes et des mots de passe des élèves, des logiciels pré-installés sur les machines, etc.

2. Alignement pédagogique 

2.1. Objectifs 

Au niveau disciplinaire, l'objectif est la mobilisation de connaissances et de procédures mathématiques nécessaires à réalisation de certaines constructions géométriques. Ces connaissances vont de définitions d'objets mathématiques à la (re)découverte ou utilisation de leurs propriétés:

  •  la somme des angles d'un triangle vaut 180° (Fig.1 : Fichier "SumAngleTriangle") qui illustre dynamiquement et de manière beaucoup plus visuelle l'explication que l'on faisait jusqu'à présent avec un pliage ou un découpage de triangles. 

  • les hauteurs du triangle s'interceptent toutes à un même point, l'orthocentre, qui n'est pas forcément inscrit dans le triangle (Fig.2 : Fichier "BoîteNoireH"). Qui plus est, la position relative de l’orthocentre par rapport au triangle dépend de la configuration de ce dernier, en d'autre termes une condition nécessaire est suffisante pour que l'orthocentre soit en-dehors du triangle est que celui-ci ait un angle obtus.

  •  les médiatrices du triangle s'interceptent toutes à un même point, qui s'avère être le centre du cercle circonscrit (Fig.3 : Fichier "BoîteNoireM"). Alternativement le cercle circonscrit est l'unique point équidistant aux 3 sommets du triangle.

  • les bissectrices du triangle s'interceptent toutes à un même point, qui s'avère être le centre du cercle inscrit (Fig.4 : Fichier "BoîteNoireB"). Il s'agit de l'unique point situé à la même distance des 3 côtés du triangle.

Cette objectif disciplinaire est inscrit dans la rubrique "figures géométriques planes" de l'objectif MSN 31 - Poser et résoudre des problèmes pour modéliser le plan et l'espace du PER et correspond au découpage officiel de la 9e année ("ES Figures géométriques planes"). 

Qui plus est, l'utilisation d'un logiciel dynamique de géométrie est dans les recommandations du PER concernant les figures géométriques planes, puisqu'il est écrit : 

  • "Pour les constructions, les élèves utiliseront les outils de la géométrie les plus appropriés à leur niveau (construction de la bissectrice avec le rapporteur ou la règle et le compas) [...] On recourra également à des logiciels de géométrie dynamique"
 
Au niveau mitic, les objectifs portent sur : 

  • la prise en main de l'environnement restreint du logiciel GeoGebra puisque la première partie de notre séquence est consacrée à des exercices rapides afin d'apprendre à utiliser les outils que nous avons choisis de mettre à disposition dans les différents fichiers présentés en amont.  


2.2. Style pédagogique

Durant cette séquence d'apprentissage, l'enseignant adopte différents rôles à l'égard des objectifs, de la conception des exercices, mais surtout aux différents moments qui ponctuent cette séquence.  En effet, en début de séquence, l'enseignant sera "un guide organisationnel" puisqu'il lui incombera de distribuer les ordinateurs, de se soucier des bonnes connexions et de l'ouverture de GeoGebra. Puis, en début de la partie "prise en main" par l'élève des fonctionnalités utiles pour notre séquence,  l'enseignant sera "un transmetteur de connaissance mitic" puisqu'il présentera l'importation des fichiers,  la barre générale d'outils et l'utilisation de l'aide qui apparaît lorsqu'on se déplace sur ces derniers et qui indique les objets mathématiques à cliquer pour réaliser la construction voulue.  Suite à cette brève introduction, toujours dans la partie "prise en main", lorsque les élèves réaliseront leurs premières tâches afin de comprendre la logique du logiciel, l'enseignant sera "un guide du processus d'apprentissage mitic" puisqu'il veillera à répondre aux différentes questions concernant la réalisation des points, des segments, des perpendiculaires, des médiatrices, etc. Ensuite, dans la deuxième partie consacrée aux questions dynamiques d'approfondissement sur les notions relatives aux propriétés du triangle, l'enseignant sera en retrait  lors de la réalisation des fichiers puisque les corrigés sont inclus dans les fichiers permettant ainsi à l'élève de s'auto corriger et d'avancer à son rythme. Toutefois, quelques minutes avant la fin de la séquence,  l'enseignant reprendra un guidage fort afin de mener une institutionnalisation sur les différentes notions abordées et sur l'intérêt des logiciels de géométrie dynamique pour clore la séquence.

Parallèlement, le rôle de l'élève varie : bien que majoritairement "utilisateur du logiciel" pour répondre aux questions mathématiques fournies dans les fichiers, l'élève devient dans une moindre mesure "producteur" quant aux constructions géométriques qu'il génère. Les productions finales seront les réponses qu'il élabore moyennant le soutien de l'outil informatique, un outil informatique qui lui permet rapidement de vérifier ses hypothèses.   


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[Linus Jaquenoud]

Globalement les rôles de l'enseignant comme ceux de l'élèves ont été relativement proche à ce que nous avions prévu. Les élèves ont très rapidement assumé un rôle de producteur et ce même durant la phase d'introduction du logiciel. Même si certains ne suivaient pas scrupuleusement les consignes, et s'amusaient à faire "autre chose", cet "autre chose" était quand même quelque chose en lien avec GeoGebra. De ce point de vue les élèves ont vraiment perçu le logiciel comme un jeu d'exploration et de découvertes.

Du côté enseignant, même si les exercices étaient conçus pour que les élèves puissent être autonomes ils a fallu a fréquemment passer dans les rangs et donner quelques indices pour débloquer certain élèves. Cela dits, leur autonomie a été plus marquée que durant les cours habituels de mathématiques.

[Christine Sebe]

Je rejoins entièrement Linus concernant l'adéquation entre les rôles prévus et les rôles qui ont été observés lors de la mise en oeuvre.  Comme présenté précédemment dans la partie "retour après expérience sur l'utilité du numérique", l'outil a été pris en main avec diligence et les élèves ont été très productifs :-)

Du côté enseignant,  d'un point de vue mathématique, lors de la première mise en oeuvre, j'ai trouvé qu'être à deux enseignants était très confortable pour débloquer les situations et relancer l'élève dans les tâches mathématiques plus complexes. D'un point de vue informatique, j'ai noté une nette différence entre la population de Béthusy et celle de Genolier.  En effet, mes élèves semblaient plus à l'aise avec l'informatique, cela est sans doute dû au fait que les élèves de Genolier sont majoritairement issus de familles très aisées.

2.3. Évaluation

L'évaluation des deux objectifs disciplinaire et numérique présentés plus haut est faite par le biais des réponses des élèves à des questions individuelles qui leur sont posées, d'observations faites sur leurs productions (durant le cours lui-même et pas après coup), sur la nature de leurs éventuelles questions/incompréhensions et d'un sondage collectif au terme de la séquence. Il s'agit donc ici essentiellement d'une évaluation dormitive mais aussi d'une évaluation diagnostique par rapport à l'objectif numérique.

Retour après expérience :

[Linus Jaquenoud]

L'évaluation de l'objectif mitic, à savoir "la prise en main de l'environnement restreint aux outils mis à disposition du logiciel GeoGebra" s'est effectuée par "sondage statistique" en passant constamment dans les rangs pour observer les production des élèves en fonction du type de difficulté qu'il rencontraient ou de la formulation de leurs questions ou encore en questionnant les élèves sur ce que chaque exercice leur a apporté ou permis de comprendre.

En fin de séquence j'ai également questionner les élèves quant à leur appréciation générale de l'activité, leur impression d'avoir appris à utiliser les fonctions basiques de GeoGebra et efficacité du programme pour apprendre et/ou mieux comprendre des notions mathématiques. La première personne à répondre a décréter haut et fort que cette activité fut complètement nulle et inutile. Après cet encouragement, sont intervenus plusieurs élèves de manière plus timide et diplomatique pour dire qu'il avaient compris soit de nouvelles choses ou simplement mieux compris des notions déjà connues et qu'il seraient content d'avoir des activités similaires plus fréquemment. En conclusion, selon mon impression, les deux objectifs principaux de cette séquence ont été globalement atteints de façon satisfaisante.

[Christine Sebe]

L'évaluation diagnostique en passant dans les rangs durant la phase de prise en main a été très intéressante. Dès les premières constructions, j'ai pu voir les élèves qui ont de l'aisance avec l'informatique et explorent volontiers. En effet,  durant cette phase, je montrais une fonctionnalité ou construction et leur demandais de la répliquer. Très vite, les élèves qui s'étaient acquitté de la tâche se sont mis à la découverte d'autres outils et construisaient librement d'autres figures géométriques à côté. Cette liberté m'a permis de venir vite en aide aux élèves en difficultés avec l'outil informatique et revenir sur les explications permettant l'autonomie puisqu'on pouvaient facilement revenir en arrière pour voir comment ils avaient produit leur construction... vraiment beaucoup de petites choses très pertinentes également mathématiquement telles que "mesurer un angle" où l'angle doit être sélectionné (=nommé) de manière antihoraire, "bissectrice" entre deux côtés d'un angle ou bien entre 3 points toujours de manière antihoraire, "bissectrice" d'un segment et non d'une droite, etc... 

Comme planifié, une dizaine de minutes avant la sonnerie, j'ai demandé de fermer les ordinateurs pour faire une mise en commun de ce qu'ils avaient compris grâce aux exercices GeoGebra.

Puis, à la fin de la séquence, j'ai également sondé mes élèves. Ces derniers ont également apprécié ce travail sur le logiciel GeoGebra et seraient contents si nous pouvions à nouveau travailler avec d'ici la fin de l'année. Il est également sorti de ce sondage que cela facilite l'apprentissage, "Madame c'est plus simple quand on les construit comme ça pour se souvenir des termes de médiatrice, bissectrice, cercle inscrit et tout ça". 

Bref, notre objectif mitic, à savoir "la prise en main de l'environnement restreint aux outils mis à disposition du logiciel GeoGebra" est largement atteint et la révision des concepts sous-jacents mathématiques par une autre "porte d'entrée" a emmené du dynamisme à des révisions qui sont parfois laborieuses. 

3. Gestion de la classe 

3.1. Éducation aux médias 

Les élèves se retrouvent devant un nouvel outil numérique que nous n'avions pas utilisé jusqu'à présent. Dans le cadre de l'éducation aux médias, nous prévoyons de donner quelques informations sur GeoGebra durant la connexion au logiciel, telles que 
  • Geogebra est un logiciel mathématique qui allie Géométrie et Algèbre, d'où GeoGebra 
  • Idée et développement (2002) sont de Markus Hohenwarter de l’université de Salzburg pour l’enseignement des mathématiques 
  • Logiciel libre, c'est-à-dire que l'accès à son code source est autorisé pour modification ou duplication, mais pas pour la vente
  • en permanente évolution (d'où les différents versionning qui corrigent des bugs) 
  • etc...

GeoGebra ne possède pas de spécificités pour les élèves "dys", mais nous n'en avons pas dans nos sous-groupes classes respectifs. Toutefois, dans la lignée du concept 360, nous avons créé des exercices avec aides et autocorrection permettant à chaque élève d'avancer à son rythme et en fonction de ses besoins.

Retour après expérience :

[Linus Jaquenoud]

Concernant l'éducation aux médias, les point mentionnés deux paragraphes plus haut, bien que ayant fait partie de la phase d'introduction de la mise en oeuvre, ont été plutôt secondaire. À ma surprise, l'aspect principale en lien avec l'éducation aux médias, a été celle de familiariser les élèves avec des éléments basiques n'étant pas vraiment propose à GeoGebra, comme l'utilisation du bouton retour en arrière situé généralement dans un coin de la fenêtre, le fonctionnement des menus déroulants (un premier clic pour dérouler puis un second pour sélectionner l'objet), la mise en évidence de l'objet sélectionné par un cadre bleu, laisser un instant le curseur sur un objet fait apparaître une explication sur la façon d'utiliser l'outils en question ou encore concernant la différence entre la logique GeoGebra et celle des élèves. Pour m'expliquer prenons pour exemple une situation vécue. Un élève me disait ne pas arriver à construire la hauteur issue du sommet C dans un triangle ABC. Comme l'élève explique correctement qu'il doit tracer une droite passant par le sommet C qui soit perpendiculaire au côté AB, je lui demande de retenter sa construction. Il sélectionne correctement l'outil  perpendiculaire, puis clic sur le point C pour indiquer que la perpendiculaire doit passer par ce point, puis, au lieu sélectionner le segment AB il sélectionne seulement son extrémité A. Ce qui a pour effet de construire une perpendiculaire au segment AC passant par C (voir Fig. 10).
Fig. 10 - Comprendre comment le logiciel "pense".

Plusieurs situation similaires se sont produites, relevant ainsi une difficulté ou d'un moins une nouveauté vis-à-vis de la nécessité de comprendre et d'adopter la logique du logiciel afin d'obtenir les constructions désirées.

[Christine Sebe]

Au final, les élèves ont rencontré peu de difficultés lors de l'utilisation de Geogebra.

Comme précédemment mentionné, l'une de force de GeoGebra est sa simplicité d'utilisation puisque le logiciel ne nécessite pas l'apprentissage d'une syntaxe particulière celle-ci étant très proche de la pensée mathématique.

Les difficultés liées à l'outil, aux subtilités d'utilisation de tout nouveau logiciel ont pu être bien traitées dans la partie prise en main en alternant mes explications ou démonstrations avec leurs productions sur leurs postes respectifs.

Je pense également avoir apporté des notions utiles en terme d'éducation aux médias par l'introduction mentionnée dans ce paragraphe, mais aussi en mettant l'accent sur ces petites subtilités que sont le bouton de retour en arrière, les mises en évidence des objets sélectionnés, les popup d'aide, ... en tout cas, bon nombre ont exploré les fonctionnalités du logiciel qui étaient mises à disposition et cette curiosité fait plaisir.

3.2. Planification 

Pour nos classes respectives, la séquence a lieu après les 25 périodes dédiées aux "Figures géométriques planes".  Dans l'idéal, l'année prochaine, nous intégrerions cette séquence dans les périodes dédiées à l'étude des propriétés du triangle.  Toutefois, les objectifs d'apprentissage vont bien au-delà de la simple construction des hauteurs, médiatrices, bissectrices. La séquence resterait même intéressante pour des 10e ou des 11e dans une perspective de révision des droites remarquables du triangle qui sont fort peu retravaillées par la suite.

A priori, la séquence devrait durer 2 périodes.  A noter, si nous l'avions joué dans nos classes respectives durant le thème "Figures géométriques planes", nous aurions pu la séparer en deux : la partie "prise en main" et l'exercice "SumAngleTriangle"  aurait été introduit avec la propriété sur la somme des angles du triangle ; et la partie approfondissement avec les exercices "BoîteNoireH", "BoîteNoireM", "BoîteNoireB" aurait été introduite vers la fin du thème. 

Quoi qu'il en soit, la planification de la double période est la suivante : 
  • (3 min) Accueil et planification du cours de mathématiques
  • (3 min) Distribution et connexion à l'ordinateur pour chacun des élèves
  • (3 min) Introduction sur GeoGebra et ouverture de GeoGebra
  • (5 min) Présentation de l'importation des fichiers,  de la barre générale d'outils et de l'utilisation de l'aide 
  • (10 min) Exercices de "prise en main" 
  • (5 min) Exercices pour valider les connaissances de base du logiciel nécessaires à nos exercices sur les propriétés du triangle
  • (40 min) Exercices d'approfondissement sur les propriétés du triangle
  • (10 min) Institutionnalisation
  • (5 min) Rangement des ordinateurs 

A l'établissement de Genolier, le logiciel GeoGebra est installé sur les ordinateurs "mobiles", c'est-à-dire des ordinateurs portables installés sur un chariot. Il conviendra de réserver le chariot comme si nous voulions réserver une salle, et ce, quelques jours à l'avance sur le teamup "Réservations EPSGE". Les élèves possèdent un identifiant et un mot de passe personnel. Il conviendra de faire noter dans l'agenda de se munir de ceux-ci pour la dite séquence (au cas où :-). 

Retour après expérience :

[Linus Jaquenoud]

Une semaine à l'avance j'ai demandé au responsable informatique de mon établissement de venir vérifier que tout les élèves se souvenaient de leur mots de passe pour se connecter à leur compte et, dans le cas contraire, leur en définir un nouveau qui était annoté dans l'agenda. Malgré cette anticipation pour éviter des contre-temps, lors de la mise en oeuvre de la séquences il y a tout de même eu deux élèves qui n'ont pas réussi à se connecter à leur session et ont dû travailler ensemble avec un autre membre de la classe. À cela s'est aussi ajouté le fait qu'il fallu aller chercher une moitié des élèves qui attendaient devant la classe habituelle, pour aller rejoindre l'autre moitié devant la salle de matériel informatique pour finalement aller dans une autre salle dans laquelle j'étais certain que nous aurions pas de problème de connexion au wifi. Compte tenu de ces éléments, il a fallu 15 minutes pour que tout les élèves (sauf 2) aient pu correctement ouvrir le premier fichier GeoGebra et que le cours à proprement parler puisse commencer.

Le soir avant la mise en oeuvre j'ai décidé de modifier la planification notamment au niveau de la phase de prise en main. Il était prévu de distribuer au élèves une feuille de route expliquant  pas à pas ce qu'il faut faire et comment le faire pour que les élèves puissent effectuer deux exercices d'introduction ayant pour but de "faire connaissance" avec le logiciel. Au lieu de cela, j'ai décidé d'oublier la feuille de route et d'utiliser le beamer pour projeter directement contre le mur et pouvoir ainsi montrer aux élèves en même temps que je leur donnais les explications. De plus j'ai demandé aux élèves de s'assoir dos au pupitre pour qu'il voient la projection sur le mur du fond et pour que je puisse voir tous les écrans et ainsi pouvoir observer l'avancée des élèves (voir Fig. 11). Christine qui est venue assister à ma mise en oeuvre à été d'une grande aide. Elle a pu aider individuellement les élèves alors que moi je donnais des explications collectives. Cette phase de prise en main à duré 25 minutes ce qui est passablement plus long que ce qui à été prévu. Cela dit, cette longue introduction s'est révélée cruciale pour permettre un bon déroulement de la deuxième phase durant laquelle les élèves ont pu faire preuve de beaucoup plus d'autonomie pour réaliser les exercices suivants.
Fig. 11- Projection sur le mur pour que les élèves puissent "voir" les explications de l'enseignant et vue d'ensemble sur les écrans des élèves pour un suivi de leur progression.

Après une heure de cours environ, Christine s'est rendue compte que les élèves qui n'ont pas pu se connecter à leur compte, pouvaient contourner ce problème en se connectant à la session pour élèves du primaire qui ne nécessite pas de mot de passe et nous avons dû transférer les exercices GeoGebra à l'aide d'une clé USB. Ce fut un agréable plaisir de voir ces deux élèves tout réjoui à l'idée de ne pas avoir à partager une machine et participer plus activement à l'activité.

J'ai personnellement pu vérifier que tous les élèves avaient correctement réalisé et compris les exercices 1 à 3. Un bon nombre d'entre eux ont pu faire partiellement les exercices 4 et 5.

Environ 10 minutes avant la fin du cours, j'ai demandé aux élèves de quitter leur session afin de leur montrer collectivement l'exercice "6 - Cycloids", afin de conclure ce cours en aiguisant leur curiosité mathématique tout en mettant en évidence la puissance dynamique de GeoGebra en leur présentant une famille de courbes, cycloïdes, générées par la trajectoire d'un point attaché à un cercle roulant sur une droite.  Les élèves ont apprécié la découverte d'une nouveauté mathématique par la simple observation en profitant de sa dimension esthétique sans avoir a faire des mathématiques calculatoires (et austères) auxquelles ils sont habitués.

Au vu du peu de familiarité que la majorité des élèves avaient avec l'utilisation d'un ordinateur, il s'est avéré être une bonne idée de faire avec eux la phase de prise en main et de ne pas les parachuter tout seul avec juste une feuille de route. Celle-ci n'aurait probablement pas été aussi facile à comprendre qu'escompté. Une telle démarche serait plus adéquate pour des élèves utilisateurs fréquent d'ordinateurs.

[Christine Sebe]

Les temps ont passablement variés par rapport à la planification initiale pour ma part, et ce, essentiellement parce que ma double période de mathématiques avec cette classe est entrecoupé par la récréation.  De plus, suite à la première mise en oeuvre à Bethusy, j'ai opté pour passer un peu plus de temps à expliquer les subtilités du logiciel. De la sorte, toute la première période fut consacrée à :

(15 min)
  • l’accueil, 
  • la planification, 
  • la distribution des ordinateurs, 
  • la connexion à la machine avec leur identifiant et mot de passe (tout le monde l'avait bien pris, ouf),
  • en sus la connexion au réseau pour accéder au dossier de partage où j'avais déposé les fichiers (ça je n'y avais pas pensé....), 
  • le responsable informatique ne sachant pas si GeoGebra était installé sur ces machines m'avait expliqué la veille que si GeoGebra n'était pas installé sur la machine, alors dans la loupe, il suffisait de taper CIPEO et ça permettait d'installer n'importe quelles applications autorisées par le canton... très pratique comme information au cas où, pour notre lecteur, mais je n'en ai pas eu besoin, ça s'est ouvert parfaitement dès que les élèves ont cliqué sur le fichier 

(25 min)
  • Phase de "prise en main" du logiciel car il ne servait à rien de commencer les exercices pour 5 min juste avant la récréation
      où ma planification des explications et démonstration était la suivante : 
      1) Création 2 points libres + suppression ou retour en arrière (pointage logo retour en arrière)
      2) Création d'un segment (segment, pas droite, car pointage liste déroulante et sélection en couleur)
      3) Création d'une médiatrice (vérification utilisation liste déroulante et droite remarquable la plus simple pour voir dynamisme)
      4) Déplacement d'une extrémité du segment (dynamisme, immédiateté, la médiatrice se déplace !!!)
      5) Suppression de la médiatrice (serait obligé d'utiliser la poubelle, donc sélection du bon outil requis) 
      6) Création d'un troisième point 
      7) Création d'un angle (libre d'avoir un angle formé par deux segments ou par deux droites) 
      8) Mesure de l'angle (pour pointer l'utilisation de l'antihoraire en mathématiques) 
      9) Création de la bissectrice 
Puis ce n'était pas prévu, mais j'ai pu rebondir sur la production de Simon, qui avait construit de lui même un triangle avec les 3 bissectrices et le cercle inscrit ... du coup, j'ai demandé aux autres de faire de même ... et ce, sans démonstration... ceci nous a occupé jusqu'à la sonnerie de la récréation. 

La deuxième phase de la séquence s'est déroulée comme prévu, rien de significatif à signaler.
Sauf peut-être 2 min de "retour sur cette double période un peu particulière" où ils ont pu utiliser ce logiciel de géométrie dynamique. 

Comme proposition de régulation, je serais d'avis finalement d'utiliser deux simples périodes pour mettre en oeuvre notre séquence pour permettre l'intégration (et éviter l'agitation de fin de deuxième période).

3.3. Déroulement (après expérience)

[Linus Jaquenoud]

Voici les différentes étape du déroulement de cette séquence:

Avant la séquence : 
  • réserver les ordinateurs portables et le beamer
  • s'assurer que GeoGebra soit installé sur les machines
  • s'assurer que les élèves se souviennent de leur mot de passe et savent se connecter
  • déposer les fichiers dans un dossier commun accessible aux élèves

Durant la séquence:
  • (5 min) accueil , planification et présentation de GeoGebra (voir éducation aux média) 
  • (5 min) connexion aux machines et ouverture du fichier 0 - IntroductionGeoGebra
  • (25 min) Phase de "prise en main" du logiciel. À l'aide du beamer, l'enseignant explique et montre lentement et par étape, ce qu'il veut que les élèves répliquent à leur poste. Cela doit leur permettre de découvrir les aspects et fonctionnalités du logiciel qu'ils devront maîtriser pour la réalisation des exercices dans la prochaine phase: création de points, segments, droites, bissectrices, médiatrices, parallèles, perpendiculaires, cercles, angles, polygones réguliers ou non, suppression d'un objets, modification de la position d'un objet, retour en arrière, utilisation de l'outil relation permettant de nombreuse fonctionnalités comme par exemple vérifier, si deux angles/segments ont des mesure égales, la position relative de deux segments/droites/demi-droite.
  • (5 min) Explications du déroulement de la deuxième phase et des attentes (il ne suffit pas de comprendre en cliquant sur la solution mais il faut aussi être capable de faire les constructions)
  • (40 min) Les élèves avancent à leur rythme et de la manière la plus autonome possible avec la suite des exercices.
  • (5 min) Les élèves éteignent les ordinateurs et suivent l'exercice 6 - Cycloïds qui est expliqué et projeté sur le mur.
  • (5 min) pour clore la séquence avec un sondage du ressentis des élèves.

Cette activité a été un succès même au sein d'une classe d'élève n'étant pas des utilisateurs aguerris du numérique. Les aspects intuitifs et dynamiques du logiciel ont rendu cette activité ludique et cela à beaucoup incité les élèves à explorer et découvrir par eux-même. Un autre aspect que je n'avais pas prévu, était la collaboration spontanée et très efficace entre les élèves (voir Fig. 11). En conclusion, la mise en oeuvre de cette séquence à été une expérience instructive et productive tant pour les élèves comme pour moi. Les élèves ont montré un intérêt à avoir plus fréquemment de tels cours combinant l'utilisation du numérique aux mathématiques. Quant à moi, je n'hésiterai pas à mettre en oeuvre une nouvelle fois cette séquence ainsi que d'en planifier de nouvelles en lien avec d'autres notions mathématiques.
Fig. 12 - Belle collaboration spontanée entre les élèves.

[Christine Sebe]

Si je remets un peu d'ordre dans les différents points mentionnés précédemment 
afin que le déroulement puisse être compris par une tierce personne : 

En amont : 
  • réserver le chariot mobile
  • s'assurer que GeoGebra soit installé sur les machines 
  • déposer les fichiers dans un répertoire accessible aux élèves

Le jour J :
  • (2 min) l’accueil, 
  • (5 min) la planification et la présentation de GeoGebra (voir éducation aux média) 
  • (2 min) la distribution des ordinateurs (rapide puisque j'avais emmené le chariot mobile dans la classe), 
  • (3 min) la connexion à la machine avec leur identifiant et mot de passe (tout le monde l'avait bien pris, ouf),
  • (3 min) en sus la connexion au réseau pour accéder au dossier de partage où j'avais déposé les fichiers (à prévoir), 
  • (25 min) Phase de "prise en main" du logiciel où explications et démonstrations suivantes (avec le pourquoi) : 
      1) Création 2 points libres + suppression ou retour en arrière (pointage logo retour en arrière)
      2) Création d'un segment (segment, pas droite, car pointage liste déroulante et sélection en couleur)
      3) Création d'une médiatrice (vérification utilisation liste déroulante et droite remarquable la plus simple pour voir dynamisme)
      4) Déplacement d'une extrémité du segment (dynamisme, immédiateté, la médiatrice se déplace !!!)
      5) Suppression de la médiatrice (serait obligé d'utiliser la poubelle, donc sélection du bon outil requis) 
      6) Création d'un troisième point 
      7) Création d'un angle (libre d'avoir un angle formé par deux segments ou par deux droites) 
      8) Mesure de l'angle (pour pointer l'utilisation de l'antihoraire en mathématiques) 
      9) Création de la bissectrice 
  • (20 min) Récréation
  • (5 min) Indication de mes attentes pour la seconde période : 
      1) exercices en autonomie (corrigé accessible), les prendre dans l'ordre numérique dans le répertoire
      2) mettre l'accent sur hypothèses et les vérifications (important en mathématique la vérification!)
      3) les exercices perdent tous leurs intérêts s'ils cliquent directement sur les corrigés ou les indices (faut s'essayer!)
      4) une fois fini, on ferme le fichier sans sauvegarder puisqu'on fera une mise en commun les 10 dernières minutes
  • (25 min) Exercices d'approfondissement sur les propriétés du triangle
  • (10 min) Institutionnalisation
  • (5 min) Rangement des ordinateurs 

Cette séquence a beaucoup motivé mes élèves et a permis de revisiter des concepts de géométrie et de faire un peu d'éducation aux médias par la même occasion. Ils se sont impliqués dans leur apprentissage et ont fait preuve d'une grande collaboration, d'autonomie et de créativité :
Fig.13 - Belle collaboration... et ambiance décontractée ''Madame, vous n'oublierez pas le droit à l'image'' ;-)... cette remarque taquine d'Hayden m'a fait rire... d'habitude c'est leur production que je prends en photo pour en discuter moyennant projection au beamer.jpg

Entre le masque et le droit à l'image, il vous manque beaucoup de non verbal, mais ce moment été très agréable.

La deuxième période fut un peu plus laborieuse ; les exercices d'approfondissement des concepts mathématiques étaient plus exigeants en terme d'attention et demandaient quelques relances ponctuelles. 

Quoi qu'il en soit, cette expérience de GeoGebra a été très enrichissante pour moi comme pour les élèves. Elle m'a donné envie de prolonger l'utilisation de GeoGebra à d'autres thèmes de la géométrie (figures planes, solides, ...) mais aussi à d'autres domaines des mathématiques (j'ai pu voir que nos collègues de mathématique ont préparé une séquence sur les fonctions, etc...).

En un mot, pour moi, GeoGebra, un logiciel à exploiter plus en classe !!!

4. Bibliographie 

Dogan, M., & İçel, R. (2011). The role of dynamic geometry software in the process of learning: GeoGebra example about triangles. Journal of Human Sciences, 8(1), 1441-1458.

Rajaonarimanana, H. E., & Totohasina, A. (2019). Initiation aux TIC par Geogebra dans des classes de mathématiques. Revue Didaktika, (03), 78.

Riouch, M-L. (2015). Utilisation des tablettes dans des activités mathématiques : exemple d'activité de géométrie dynamique application : Geogebra. In Theis L. (Ed) Pluralités culturelle et universalité des mathématiques : enjeux et perspectives pour leur enseignement et leur apprentissage. Actes du Colloque EMF 2015. p. 584-611.

Roux, M. (2009). GeoGebra, pour quoi faire?. Bulletin de l'APMEP. Num. 493. p. 188-198.