Note: Bien que la préparation de la séquence ait été effectuée en binôme, nous avons choisi de rédiger la partie de mise en œuvre de façon individuelle, afin de tenir compte des différents contextes d'enseignement des deux membres du groupe. Cela explique l'utilisation de la première personne du singulier dans les chapitres concernant la mise en œuvre.
1. Contexte
1.1.Introduction
Cette séquence numérique s’adresse principalement aux enseignants de mathématiques, mais peut être utile aussi pour les sciences de la nature, notamment concernant les activités impliquant la création de graphiques.
L’objectif de cette séquence est d’utiliser le logiciel Géogébra pour la résolution d’exercices pouvant être modélisés par des fonctions.
Ainsi, dans le chapitre « Fonctions et Diagrammes », cette activité sera mise en place avec des élèves de 11VG niveau 1 et de 10VP, mais il est tout à fait possible de proposer le même type d’activité avec des élèves de 9H ou de 11VG2 et 11VP, mais en adaptant le contenu des exercices.
Bien que l’enseignant puisse se limiter à montrer au beamer les passages effectués (sans que les élèves n’utilisent le logiciel Géogébra), l’idée de cette séquence est que chaque élève puisse disposer d’un ordinateur, et nous préférons que les élèves soient directement impliqués dans la tâche pour en favoriser les apprentissages.
1.2.Utilité du numérique
Les avantages de l’utilisation de Géogébra sont nombreux. Premièrement, avec un logiciel la précision des graphiques sera supérieure aux graphiques sur papier, surtout si on considère des fonctions dont la représentation n’est pas une droite (par exemple une fonction quadratique). De plus, il est possible de se déplacer sur le graphique et d’observer l’évolution de la fonction pour des valeurs très grandes ou très petites, ce qui ne serait pas possible avec un graphique classique, sur papier.
En effet, l’équation liée à chaque graphique est toujours visible sur l’écran et elle est représentée dans une forme écrite identique à celle utilisée normalement par l’enseignant et les élèves. De cette façon on pourra se focaliser sur l’étude des fonctions et sur la logique sous-jacente.
De plus, on peut rapidement changer tout coefficients ou corriger des erreurs dans la création du graphique, sans avoir besoin de tout recommencer. La séquence proposée se situe au niveau "augmentation" du modèle SAMR. En effet, la tâche effectuée avec le numérique ne change pas, mais Géogébra permet une amélioration fonctionnelle, surtout au niveau de la vitesse de réalisation, de la précision et de la lecture et interprétation des graphiques.
1.2.1.Retour après expérience
Considérations générales : Les avantages de l’utilisation de Géogébra sont nombreux. Premièrement, avec un logiciel la précision des graphiques sera supérieure aux graphiques sur papier, surtout si on considère des fonctions dont la représentation n’est pas une droite (par exemple une fonction quadratique). De plus, il est possible de se déplacer sur le graphique et d’observer l’évolution de la fonction pour des valeurs très grandes ou très petites, ce qui ne serait pas possible avec un graphique classique, sur papier.
En effet, l’équation liée à chaque graphique est toujours visible sur l’écran et elle est représentée dans une forme écrite identique à celle utilisée normalement par l’enseignant et les élèves. De cette façon on pourra se focaliser sur l’étude des fonctions et sur la logique sous-jacente.
De plus, on peut rapidement changer tout coefficients ou corriger des erreurs dans la création du graphique, sans avoir besoin de tout recommencer. La séquence proposée se situe au niveau "augmentation" du modèle SAMR. En effet, la tâche effectuée avec le numérique ne change pas, mais Géogébra permet une amélioration fonctionnelle, surtout au niveau de la vitesse de réalisation, de la précision et de la lecture et interprétation des graphiques.
Timing : Après la mise en œuvre j’ai eu la confirme que 1h30 (2 périodes) est un temps largement suffisant pour terminer l’exercice. L’idéal pour ce type de classe, une 10VP très participative et réceptive, aurait été de prévoir 1h15.
1.3.Compétences enseignantes
Géogébra est un logiciel très intuitif et cela ne prend pas trop de temps pour en maitriser les fonctions de base.
Il existe une version de Géogébra en ligne, donc il n’est pas nécessaire de le télécharger sur son ordinateur (version en ligne disponible sur le site: https://www.geogebra.org/classic). Il est aussi nécessaire de connaître les ressources numériques de votre environnement de travail (Compétence Sqily). En particulier, il faut s'assurer que votre établissement scolaire dispose d'assez d'ordinateurs pour tous les élèves. Il faut savoir comment les réserver et si les élèves disposent d'un compte personnel leur permettant d’ouvrir une session. De plus, il est important de connaître la PRessMITIC (Personne Ressource MITIC) de votre établissement, qui pourra vous renseigner quant à l'utilisation du numérique de l'établissement et à leurs enjeux éventuels.
1.3.1.Marche à suivre
En annexe vous avez l’exercice utilisé pour cette activité. La démarche suivante décrit la résolution de cet exercice, mais peut s’appliquer pour n’importe quel exercice pouvant être modélise par des fonctions. :
d) En haut à droite, sélectionnez le bouton avec le « cercle et triangle bleus » puis le bouton avec les «trois points verticales » pour accéder à l’option « calcul formel » (Figure 3). image.png 88.45 KB Capture d’écran 2020-12-17 à 16.42.22.png 82.78 KB e) Dans « calcul formel » vous pouvez calculer f(x) pour x=n : il suffit d’insérer p.ex. f(23) et presser «entrée».
f) Il est aussi possible de résoudre des équations pour trouver le point d’intersection entre 2 droites : f(x) = g(x). Pour trouver la solution de l’équation il suffit d’écrire « solutions » et l’option « Solution (< Équation >) s’affichera automatiquement (Figure 4). Vous pouvez écrire manuellement l’équation ou cliquer directement sur une équation que vous avez déjà écrite dans « Calcul formel ». image.png 42.02 KB Capture d’écran 2020-12-17 à 16.42.29.png 52.35 KB g) En sélectionnant les axes ou une droite vous avez la possibilité de les nommer ou d’en changer la couleur. Il suffit de cliquer en haut à droite sur le bouton avec le « cercle et triangle bleus » et d’aller dans les paramètres.
2. Alignement pédagogique
2.1. Objectifs
La résolution d’exercices pouvant être modélisés par des fonctions s’inscrit dans le Plan d’études Romand dans la compétence « MSN33 : Résoudre des problèmes numériques et algébriques en explorant les propriétés de quelques fonctions (linéaire affine, quadratique, …) » et dans la compétence « MSN35 : Modéliser des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques en mobilisant des représentations graphiques ». Dans ce cas, les 2 objectifs prioritaires sont de :
1) Représenter une relation où interviennent deux grandeurs variables par une représentations graphique.
2) Lire et interpréter des graphiques.
De plus, à l'intérieur des compétences liées à la formation générale, le PER indique la FG31 et établit l'attente fondamentale suivante : "l'élève produit un document cohérent en recourant aux appareils informatiques adaptés à la tâche projetée".
2.2. Style pédagogique
Dans un premier temps, le rôle de l’enseignant est de faire découvrir Géogébra aux élèves pour qu’ils se familiarisent avec son interface et apprennent à maîtriser ses fonctions de base. Ensuite, les élèves pourront travailler individuellement sur leur ordinateur.
Il est possible de sauvegarder le travail au fur à mesure, afin de le reprendre dans un deuxième temps. Les graphiques que l’on a produit peuvent être imprimés.
Durant cette leçon, la posture de l'enseignant sera :
a) Directive au début : l'enseignant projette l'écran de son ordinateur sur le tableau interactif et montre face à la classe les fonctionnalités de Géogébra, tandis que suivent les étapes sur leurs ordinateurs respectifs. Ensuite, en fonction des caractéristiques de la classe, il peut résoudre non seulement une partie ou la totalité de la première question en interaction avec les élèves, mais aussi les 2-3 premières questions.
b) En retrait par la suite : les élèves doivent poursuivre la résolution individuellement ou en groupe.
2.2.1.Retour après expérience
La planification de cette séquence prévoyait de trouver la solution de la question 1 à l’aide de l’enseignant. En fait, je me suis rendu compte que plusieurs élèves étaient en mesure de résoudre la première question en autonomie et que la plupart d'entre eux aurait pu trouver les expressions fonctionnelles de la 2ème et 3ème fonction, dès que l'enseignant les avaient aidés à trouver la 1ère.
Donc, pour des raisons de différenciation, il aurait été préférable de réaliser, en interaction avec les élèves, la première équation uniquement. Puis, de laisser les élèves travailler individuellement tout en circulant dans les rangs pour aider les élèves qui rencontraient des difficultés.
En effet, l'écriture de l'expression fonctionnelle (intersection à l’ordonnée et pente) d’une droite n’avait pas encore été travaillée et institutionnalisée, néanmoins la situation réelle décrite dans la tâche proposée dans cette séquence permettait aux élèves de reconstruire et d'écrire correctement les expressions fonctionnelles demandées à la question 1.
Le déroulement des questions de 2 à 8 s’est effectués comme prévu : les élèves ont travaillé en autonomie et à leur rythme, l’enseignant restant à disposition pour répondre individuellement aux questions ou pour montrer à toute la classe certaines fonctions spécifiques du logiciel.
2.3.Évaluation
L’évaluation d’un exercice réalisé avec Géogébra ne se focalise bien évidemment pas sur la précision dans la rédaction du graphique, ni sur la justesse des calculs effectués (vu qu’ils sont effectués par le logiciel), mais plutôt sur la démarche de résolution en elle-même. D’ailleurs le but de ce type d’exercice est de se familiariser avec le concept de fonction et de comprendre comment celle-ci peut être utilisée pour modéliser des situations de vie réelle.
En substance, il ne s’agit pas d’évaluer les calculs effectués mais plutôt le choix des calculs permettant d’arriver au bon résultat (la démarche d’analyse).
A la fin de la leçon, les élèves doivent présenter une capture d'écran de l'interface de Géogébra avec les calculs et le graphique produits, ainsi que la feuille avec les réponses aux questions. L'évaluation se base sur les productions des élèves et aura la forme d’une évaluation formative : l'enseignant corrige les travaux pour se rendre compte du niveau des connaissances acquises par les élèves et leur donne des feedbacks formatifs.
Pendant la tâche, l'enseignant observe le travail des élèves et reste à disposition pour répondre aux questions.
2.3.1. Évaluation des acquis et régulation
À la fin du cours j’ai ramassé les productions des élèves et mis sur une clé USB la capture de leurs écrans. Cela m’a permis d’avoir une idée précise de leurs acquis par rapport à l’utilisation de Géogébra et de l’apprentissage au niveau de la modélisation avec des fonctions linéaires et affines d’une situation réelle simple.
Finalement, presque la totalité des élèves avaient trouvé, soit les résultats corrects, soit la bonne démarche de calcul ou de relevé graphique des intersections entre les droites et de leur position relative.
Il convient de mentionner qu’une erreur se répétait chez la majorité des élèves : aux questions 4 et 5 ils n’ont pas saisi le problème, à savoir que c’était à partir de l’entrée suivante, au point d’intersection de deux droites, qu’une solution de payement de l’entrée à la piscine pouvait être meilleure qu’une autre. Il a suffi de mettre en évidence cette erreur au moment de la correction en plénière et de l’expliquer rapidement pour faire passer le concept à la classe.
Le bon niveau d’apprentissage général confirme que l’utilisation de Géogébra permettant tracer des courbes et des droites (dans le cas présent), permet aux élèves de rester focalisés sur le contenu principal de la tâche. En effet, ils sont censés comprendre comment réaliser l’expression fonctionnelle qui modélise une situation réelle et comment l’utiliser graphiquement pour répondre à des questions concernant les différentes solutions de payement. Donc, ils n’ont pas consacré une partie de leur attention et de leur temps à la réalisation des graphiques sur papier millimétré, activité cette dernière déjà effectuée dans les cours précédents et qui ne constitue pas l'objet de ce cours. De plus, l'introduction des fonctions et des calculs dans l'interface de Geogébra se fait en utilisant exactement la même notation utilisée sur papier, cela permettant aux élèves de percevoir le logiciel en tant qu'une simple extension de leur cahier. Et encore, l'analyse et l'interprétation des graphiques sont plus rapides et précises, en raison de la possibilité de les agrandir et les réduire en utilisant le "zoom" et de chercher l'image de n'importe quel valeur de l'abscisse en se déplaçant sur l'axe horizontal. Cela favorise la recherche de solutions aux différentes questions de type graphique plutôt qu'algébrique, en adressant ainsi les élève vers l'objectif principal de la tâche, notamment l'étude de fonctions et de leurs relations d'un point de vue graphique.
Une fois avoir corrigé cet exercice en classe durant le cours suivant, les élèves ont commencé à travailler l’écriture fonctionnelle d’une droite à partir du calcul de l’intersection à l’ordonnée et de la pente, car les acquis de la tâche avec Géogébra montraient qu’ils étaient prêts à aller plus loin dans la modélisation de situations plus complexes.
3. Gestion de la classe
3.1. Education aux médias
Géogébra est un logiciel libre et les activités proposées n’impliquent aucun contenu sur lequel s’applique le droit d’auteur (il est important d'informer les élèves en relation aux contraintes du droit d'auteur)
Dans la classe en question, il n’y a pas d’élèves dont les caractéristiques psycho-physiques pourraient empêcher le bon déroulement de l’activité.
Chaque élève travaille avec son ordinateur, cela permet à tout le monde d’entrer dans l’activité et d’avancer à son rythme.
3.1.1.Retour après expérience
Comme je l’ai déjà mentionné plus haut, les élèves étaient à l’aise avec l’utilisation des ordinateurs en classe, grâce à l’utilisation préalablement effectuée dans d’autres disciplines : pas de soucis pour les faire démarrer, se connecter au réseau de l’établissement, ouvrir la session « Secondaire I », et utiliser les fonction de base. Le niveau d’engagement général était d’ordre normal. Les meilleurs élèves en maths ont montré une curiosité pour Géogebra qui allait au-delà de l’exercice objet du cours, ils ont tenté, en autonomie, et ont réussi à créer des graphiques de fonctions quadratiques et d’autres graphiques bien plus complexe qu’une droite. Les élèves plus faibles en maths semblaient un peu moins à l’aise au départ avec les fonctionnalités de Géogebra. Toutefois leurs difficultés ont été rapidement surmontées.
3.2.Planification
Cette activité s’insère dans le chapitre « Fonctions et diagrammes », lequel est traité en 9H, 10H et 11H. Elle peut donc être proposée à tous les niveaux, en adaptant le contenu des problèmes proposés.
Étant donné qu’il s’agit d’une activité qui nécessite des ordinateurs (lesquels ne se trouvent pas forcément dans la salle de classe) et qu’il faut du temps pour que les élèves apprennent à utiliser le logiciel, il faut prévoir au moins 2 périodes.
Si votre établissement dispose d’un nombre suffisant d’ordinateurs, il suffit de les réserver à l’avance.
De plus, il est conseillé d’insérer cette activité vers la fin du chapitre sur les fonctions, car les élèves doivent être à l’aise avec la notion de fonction et avec la création d’un graphique.
Planification de la leçon (2 périodes):
Distribution et démarrage des ordinateurs. Un ordinateur par élève. (5 minutes).
Présentation des fonctionnalités de base de Géogébra (5 minutes).
Distribution de la fiche avec les questions et explication de la consigne (10 minutes).
Résolution des 2-3 premières questions avec les élèves et s'assurer que tous les élèves ont compris (15 minutes).
Les élèves poursuivent les exercices suivants individuellement (40 minutes) et le maître passe dans les rangs pour répondre aux questions.
Les élèves font une capture d'écran de leur travail et la transfèrent dans la clé USB du maître (10 minutes.).
Éteindre et ranger les ordinateurs (5 minutes).
3.2.1.Retour après expérience
Le but didactique de cette séquence a été celui d’aller un peu plus loin dans l’utilisation des fonctions, notamment celles plus simples, les droites, pour modéliser un problème / situation réelle et l'analyser à l'aide de graphiques. Donc sa programmation dans la première partie du chapitre des fonctions s’est montré correcte du point de vue de l'évaluation des acquis précédents et des nouveaux objectifs d’apprentissage proposés. Et finalement, elle a permis une précise évaluation formative au travers la correction des productions de chaque élève.
J’ai pu constater, enfin, que la planification sur 2 périodes été largement suffisante pour une classe de 10VP.
N.B. : Avant de distribuer les ordinateurs aux élèves, ils ont lu l’énoncé et ils ont répondu à la question 1, laquelle n’implique pas forcément l’utilisation du numérique. Je confirme que s’est intéressant de mettre en œuvre ce type de planification, car cela a permis aux élèves de « rentrer dans la tâche », de se focaliser sur le contenu mathématique de la première question et de se faire une idée de ce qu’ils auraient dû faire par la suite avec Géogébra.
3.3.Déroulement
- Avant de distribuer les ordinateurs aux élèves, le maître a donné quelques informations concernant le type d’exercice à réaliser durant cette leçon et son intérêt à l’intérieur du chapitre des fonctions, tout ceci en relation avec l’évaluation sommative de fin de chapitre. Ensuite l’enseignant a distribué la fiche avec l’énoncé et a aidé les élèves à répondre à la question 1, en interaction avec la classe entière. Ce choix découle de la volonté de favoriser l'appropriation de la tâche par les élèves. Néanmoins, les caractéristiques de la classe auraient permis de laisser aux élèves de trouver l’expression de deux fonctions sur trois.
- Le maître a distribué un ordinateur à chaque élève et leur a dit de l’allumer, se connecter à la session « Secondaire I » et d’accéder au site de Géogébra (https://www.geogebra.org/classic).
- Le maitre a projeté sur le tableau interactive l’écran de son ordinateur et a montré comment faire pour insérer dans l’espace « Saisie » les expressions fonctionnelles des 3 fonctions afin d’obtenir le graphique avec les 3 droites. L’enseignant a montré au beamer certaines fonctionnalités de base, telles que le « zoom » et le « nom des axes ».
- Concernant la question 2, avant de montrer comment insérer les valeurs des abscisses dans Géogébra, le maitre a demandé aux élèves comment lire les graphiques et estimer ou bien trouver exactement le résultat (notamment, identifier sur l’axe des ordonnés l’image de « 5 » pour les 3 fonctions).
- Ensuite, le maître montre comment inséré le premier calcul pour la première droite dans « calcul formel » et les élèves font le même sur leur ordinateur pour les trois droites.
- Le maître invite les élèves à poursuivre individuellement en répondant aux questions de 3 à 8.
- Le maître passe dans les rangs pour observer et répondre aux questions des élèves.
- À 15 minutes de la fin de la deuxième période, le maître demande aux élèves de faire une capture d’écran unique, et dans laquelle on puisse voir les intersections des droites et les calculs qu’ils ont fait. Ensuite il passe chez chaque élève, ramasse la feuille des réponses et télécharge la capture d’écran sur une clé USB. En effet il serait mieux d'échanger avec la classe au moyen d'un dossier Teams, utile dans ce cas pour télécharger les captures d'écran et mettre à disposition un corrigé. Malheureusement, en tant que stagiaire A, je n'ai pas reçu d'identifiant d'accès au groupe Teams de l'établissement scolaire.
3.3.1.Comportement des élèves
La plupart des élèves ont rapidement compris le fonctionnement de Géogébra et ont aisément progressé en autonomie avec les exercices. Il s’agissait surtout des élèves qui ont une déjà certaine aisance en maths. Pour d’autres élèves, notamment ceux qui ont plus de difficultés en maths, il a fallu un suivi en peu plus proche pour leur permettre d’avancer en utilisant le logiciel. Toutefois, aucun élève n’a montré de de difficultés à intégrer rapidement les explications du maître, lui permettant de se mettre au travail et avancer de façon autonome. Il s’agit surement d’une classe d’élèves avec une bonne familiarité avec le numérique et qui a aussi accès à un ordinateur à la maison. De plus, dans cette classe il est normal de discuter, s’entraider et avancer en binôme durant les tâches menées en cours. D’ailleurs les binômes changent régulièrement, car les élèves changent de place chaque mois dans le but de promouvoir la cohésion de la classe.
3.3.2.Difficultés des élèves et possibles facteurs de réussite/échec
1) La seule difficulté pratique dans l’utilisation de l’ordinateur à disposition des élèves (et qui demande surement l’aide du maître) a été celle de trouver sur le trackpad l’équivalent de la touche droite d’une souris. Je conseille aux enseignants d’être prêts à l’avance pour expliquer aux élèves comment faire, car cela est nécessaire par exemple, pour changer d’échelle dans le graphique. De Plus, chacune des deux versions de OS pour Mac présente sa manière de fonctionner. Dans le cas d’élèves de VP, certains élèves connaissent ce type de commandes permettant de dépanner maître et camarades.
2) Peu d’élèves ont montré des faiblesses dans la compréhension du texte des questions 4 et 5 : « la meilleure » ou « la pire » des solutions et leurs implications économiques dans le problème.
Ensuite la correction des productions d’élèves a mis en exergue que la plupart des élèves n’a pas pris en considération que c’était à partir de l’entrée suivante qu’une certaine solution devenait meilleur ou pire d’une autre. Il aurait probablement fallu faire l’exemple d’un cas général au tableau noir pour adresser correctement l’attention des élèves sur le cas spécifique de la présente tâche.
Antonio Cantore
